アプリのアップデートは毎回付き合わなければいけませんか? - いまさら聞けないiPhoneのなぜ

当然、アップデートしないかぎり新機能や不具合解消というメリットを受けることはできませんが、アップデートしなくても現在あるアプリを使い続けることは可能です。将来的にはiOSがアップデートされ、システムの非互換性が生じれば動作しなくなる/動作が不安定化する可能性はありますが、アップデートを無視していてもすぐに困ることはないでしょう。アプリ開発者としてはアップデートを期待するでしょうが、それを決定するのはユーザですから、無視しても支障ありません。

App Storeのアイコンにバッジが表示される件は、通知の設定を見直せば解決できます。「設定」→「通知」→「App Store」の順にタップし、「Appアイコンバッジ表示」のスイッチをオフに変更(緑→白)しましょう。これで、未アップデート件数の増加で急かされることはありません。